2011普通高校招生新课标全国统考大纲：理数
| 的实际问题.
（2）排列与组合 ①理解排列、组合的概念. ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题. （3）二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理. ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 21．概率与统计 （1）概率 ① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. ② 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. （2）统计案例 了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题. （1）独立性检验 了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用. （2）回归分析 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. （二）选考内容与要求 1．几何证明选讲 （1）了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理. （2）会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. （3）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理. （4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）. （5）了解下面定理： 定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于点 O ，其夹角为α,围绕旋转得到以 O 为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴
交角为 β （π与平行，记 β=0），则： ① β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆； ② β= α ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ③ β <α，平面π与圆锥的交线为双曲线. （6）会利用丹迪林（Dandelin）双球（如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F、E）证明上述定理①情形：当β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.（图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A.） （7）会证明以下结果： ① 在（6）中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'； ②如果平面π与平面π'的交线为m，在（5）①中椭圆上任取一点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率.） （8）了解定理（5）③中的证明，了解当β无限接近α时,平面π的极限结果. 2．坐标系与参数方程 （1）坐标系 ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. ⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别. （2）参数方程 ① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. ③ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. ④ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 3.不等式选讲 （1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； ②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣； ③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c； ∣ax＋b∣≥c； ∣x－a∣＋∣x－b∣≥c. （2）了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. ①柯西不等式向量形式：|α||β|≥|αβ|. ③＋≥ （通常称为平面三角不等式）. （4）会用向量递归方法讨论排序不等式. （5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. （6）会用数学归纳法证明贝努利不等式： （7）会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. （8）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. |
