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2011普通高校招生新课标全国统考大纲:文数

平面π与圆锥的交线为双曲线.

  (6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示,这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面的下方,并且与平面π及圆锥面均相切,其切点分别为F、E)证明上述定理①情形:当β>α时,平面π与圆锥的交线为椭圆.(图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C,线段BC与平面π相交于点A.)

  (7)会证明以下结果:

  ①在(6)中,一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行,记这个圆所在平面为π';

  ②如果平面π与平面π'的交线为m,在(5)①中椭圆上任取一点A,该丹迪林球与平面π的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.(称点F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数e为离心率.)

  (8)了解定理(5)③中的证明,了解当无限接近时,平面π的极限结果.

  2.坐标系与参数方程

  (1)坐标系

  ① 理解坐标系的作用.

  ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

  ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

  ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

  ⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.

  (2)参数方程

  ① 了解参数方程,了解参数的意义.

  ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

  ③ 了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.

  ④ 了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

  3.不等式选讲

  (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:

  ①|a+b|≤|a|+|b|

  ②|a-b|≤|a-c|+|c-b|

  ③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

  |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.

  (2)了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.

  ①柯西不等式的向量形式:|α||β|≥|αβ|

  ②(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

  ③

2011普通高校招生新课标全国统考大纲:文数

(通常称为平面三角不等式)

  (3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:

  (4)会用向量递归方法讨论排序不等式

  (5)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题

  (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式:

  (1+x)n>1+nx (x>-1,x≠0,n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立

  (7)会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值

  (8)了解证明不等式的基本方法;比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法

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